Liczyba abundancyjna

Liczyba abundancyjna (ang. abundant number) to liczba naturalna n, której suma wszystkich dodatnich dzielników (wliczając samą liczbę) jest większa od 2n. Równoważnie, jeśli oznaczymy sumę dzielników funkcją σ(n), to liczba abundancyjna spełnia warunek

σ(n) > 2n

Jeśli σ(n) = 2n, n jest liczbą doskonałą, a gdy σ(n) < 2n – mówimy o liczbie deficytowej.

Definicja formalna

Niech n ∈ ℕ, n ≥ 1. Oznaczmy

σ(n) = Σ_d|n d

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dodatnich dzielnikach d liczby n. Liczba n jest abundancyjna wtedy i tylko wtedy, gdy

σ(n) − n > n ⇔ σ(n) > 2n.

Przykłady

12 – suma dzielników wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 > 2·12 = 24, więc 12 jest liczbą abundancyjną.
18 – σ(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39 > 36, więc 18 jest abundancyjna.
20 – σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 > 40, więc 20 też jest abundancyjna.
30 – σ(30) = 72 > 60, więc 30 należy do tej klasy.

Pierwsze liczby abundancyjne to: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, …

Właściwości i twierdzenia

Każda liczba abundancyjna jest liczbą złożoną – nie istnieje liczba pierwsza spełniająca warunek σ(p) = p + 1 > 2p.
Jeśli n jest abundancyjna, to każdy wielokrotność n również jest abundancyjna (twierdzenie o zamknięciu względem mnożenia).
Istnieje nieskończenie wiele liczb abundancyjnych; dowód wynika z faktu, że ciąg liczb postaci 2ⁿ·3 (n ≥ 2) jest abundancyjny.
Liczby abundancyjne można podzielić na niewłaściwie abundancyjne (gdy σ(n) ≥ 3n) i marginalnie abundancyjne (gdy 2n < σ(n) < 3n).
Wzorzec abundancyjny σ(n)/n jest używany w badaniach liczb przyjaznych – dwie liczby a i b są przyjazne, jeśli σ(a) = σ(b) i obie są abundancyjne.

Historia

Pierwsze wzmianki o liczbach abundancyjnych znajdują się w dziełach starożytnych greckich matematyków, m.in. w „Arithmetica” Euklidesa. Termin „liczba abundancyjna” został wprowadzony w XIX wieku przez francuskiego matematyka Eulera, choć w literaturze polskiej używa się też określenia „liczba obfita”.

Powiązane pojęcia

W teorii liczb liczby abundancyjne łączą się z wieloma innymi klasami liczb:

Liczby doskonałe – granica między deficytowością a abundancyjnością.
Liczby przyjazne – pary liczb o takiej samej sumie dzielników.
Liczby kwadratowe – nie wszystkie kwadraty są abundancyjne, ale istnieją liczbowe przykłady (np. 36).
Funkcja sigma – podstawowe narzędzie do badania abundancyjności.
Teoria liczb – dziedzina, w której badane są własności sum dzielników oraz ich zastosowania.

Algorytm sprawdzania abundancyjności

Podstawowy algorytm polega na wyliczeniu σ(n) i porównaniu go z 2n. Poniżej schemat pseudokodu:

function isAbundant(n):
    sum = 0
    for d from 1 to sqrt(n):
        if n mod d == 0:
            sum += d
            if d != n/d:
                sum += n/d
    return sum > 2*n

Więcej szczegółów technicznych można znaleźć w artykule Algorytm sumy dzielników.